online-wissen > Physik > Elektrische und magnetische Felder > Energie und Energiedichte im homogenen elektrischen Feld

Energie und Energiedichte im homogenen elektrischen Feld

Zum Entladen eines Kondensators, der bei der angelegten Spannung \( U_0 \) die Ladung \( Q_0\) trägt, wird zwischen den Platten eine leitende Verbindung hergestellt.

Es fließen so lange Elektronen von der negativen zur positiven Platte bis beide elektrisch neutral sind. Der Kondensator trägt dann die Ladung \( Q = 0 \cdot C \). Die Ladung des Kondensators, die elektrische Spannung und das elektrische Feld zwischen den Platten werden schrittweise abgebaut. Die gesamte beim Entladevorgang aus dem Feld entnommene Energie ergibt sich aus $$ W = – \frac{1}{C} \int^0_{Q_0} Q dQ = – \frac{1}{C} \left[ \frac{Q^2}{2} \right]^0_{Q_0} = – \frac{1}{C} \left( \frac{o^2}{2} – \frac{Q_0^2}{2} \right) = \frac{Q_0^2}{2C} $$

\( Q_0 \) ist die gesamte auf dem Kondensator gespeicherte Ladung, \( U_0 \) die anliegende Spannung.

$$ W = \frac{C^2 \cdot U_0^2}{2C} = \frac{C \cdot U_0^2}{2} \\ \text{Nun ist aber } U_0 = E \cdot d \\ \Rightarrow W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \cdot d^2 = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 \\ \text{Es war } C = \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d} \\ \Rightarrow W = \frac{1}{2} \cdot \epsilon_0  \cdot \frac{A}{d} \cdot E^2 \cdot d^2 \\ \Rightarrow W = \frac{1}{2} \cdot \epsilon_0 \cdot E^2 \cdot \underbrace{ A \cdot d}_{V} \\ \text{Es sei } \rho_e = \frac{W}{V} \text{ die Energiedichte des elektrisches Feldes} \\ V = A \cdot d \text{ ist dabei der “Raum” des elektrischen Feldes} \\ \rho_e = \frac{\frac{1}{2} \cdot \epsilon_0 \cdot E^2 \cdot \overbrace{ A \cdot d}^{V}}{V} \\ \rho_e = \frac{1}{2} \cdot \epsilon_0 \cdot E^2$$