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Widerstand in met. Leitern

Situation: Völlig frei bewegliche Leitungselektronen . Leiter der Länge \( l \) ; angelegte Spannung \( U \)

Modell 1: konst. Feld mit \( E = \frac{U}{l} \) übt die Kraft \( F = e \cdot E = e \cdot \frac{U}{l} \) auf das Elektron auf (ruhender Beobachter)

Modell 2: Auf das Elektron wirkt die konst. Beschleunigung \( a = \frac{F}{m} = \frac{e \cdot E}{m \cdot l} \), die zu immer schneller werdenden Elektronen führen müsste (mitbewegter Beobachter)

Experimentell zeigt sich: \( I \) steigt in extrem kurzer Zeit an, dann ist \( I = konst. \). ( \ I \) ändert sich nur in einem metallischen Leiter bei der Temperatur \( \vartheta \).

Ersetzung: Modell der freien Leitungselektronen → Elektronen treten mit dem Gitter der positiven Ionen in Wechselwirkung

Folgerung: Die driftenden Elektronen erfahren eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft (vgl. Tröpfchen in Luft): $$ F_T = -k \cdot v_D $$

\( -k \) ist u.a. abhängig von der Körperform und der Viskosität des Mediums

Einschalten von \( U \) → \( I = konst. \) → \( v_D = \frac{e}{k} \cdot E = u \cdot E \)

Anmerkung: \( u \) ist die Beweglichkeit \( \frac{e}{k} \)

Kräftegleichgewicht (elektrische Kraft auf das Elektron und die entgegengesetzte Reibungskraft: $$ F_{el} = F_{r} \\ e \cdot E = k \cdot v_D $$

Es war $$ \begin{align}
I &= e \cdot n \cdot A \cdot v_D \\
&= e \cdot n \cdot A \cdot u \cdot E \\
&= e \cdot n \cdot u \cdot A \cdot \frac{U}{l} \\
R = \frac{U}{I} &= \frac{1}{enu} \cdot \frac{l}{A} \\
&= \varrho \cdot \frac{l}{A} \quad \text{mit} \quad \varrho = \frac{1}{enu}
\end{align}  $$