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Stochastische Matrizen und Markov-Ketten bei stationärer Verteilung

Eine Matrix heißt stochastische Matrix, wenn gilt:

  • sie ist quadratisch
  • für jedes Element \( a_{ij}\) gilt \( 0 \leq a_{ij} \leq 1 \)
  • die Summe der Elemente in einer Spalte (Zeile) beträgt 1

Markov-Kette: \( \underbrace{P}_{\text{stochastische Matrix, spaltenorientiert}} \cdot \underbrace{\vec v_0}_{\text{Startvektor}} \qquad ; \qquad P^t \cdot \vec v_0 \)

Wenn eine stabile Verteilung \( \vec g \) existiert, so wird sie durch die Multiplikation mit P nicht mehr verändert. Also gilt \( P \cdot \vec g = \vec g; \vec g = \text{Fixvektor  zu } P \)

Beispiel:\( \begin{pmatrix} 0,5 & 0,25 & 0,2 \\ 0,25 & 0,5 & 0 \\ 0,25 & 0,25 & 0,8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \qquad | \text{ GTR: rref} \)

Die Elemente in der Spalte des Fixvektors sind in der Summe 1 und ergeben damit die Elemente der Spalten der Grenzmatrix \( G^\infty = \left( \vec g \vec g \vec g \right) \)

Auch möglich \( G^\infty = p^{255} \cdot \vec g_0 \)

Werden stochastische Prozess im Hinblick auf langfristige Entwicklungen untersucht und wird dabei immer dieselbe stochastische Matrix p verwendet, so spricht man von einer Markov-Kette.