online-wissen > Mathematik > Analysis > Kurvendiskussion > Zusammenfassung

Zusammenfassung

Symmetrie

Achsensymmetrie zur y-Achse

Bedingung: \( f(x) = f(-x) \)

Punktsymmetrie

Bedingung: \( f(x) = – f(-x) \)

Globalverhalten

Vorgehensweise: Berechnung von \( \lim_{x \rightarrow \infty } \) und \( \lim_{x \rightarrow – \infty } \). Bei ganzrationalen Funktionen klammert man dazu die höchste Potenz aus.

Gemeinsame Punkte von Graph und Achsen

Nullstellen (Schnittpunkt mit der x-Achse)

Schnittpunkt: \( P (x|0) \)
Bedingung:
\( f(x) = 0 \)
Vorgehensweise: x ausklammern und dann nach x auflösen.
Achtung: Nicht durch 0 dividieren, x könnte 0 sein!

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt: \( P(0|f(0)) \)
Vorgehensweise:\( f(0) \) berechnen

Extremstellen

notwendige Bedingung: \( f'(x) = 0\)
hinreichende Bedingung: \( f'(x) = 0 \wedge f^{\prime\prime}(x) \neq 0\)
\( f^{\prime\prime}(x) < 0 \Rightarrow \text{Hochpunkt} \)
\( f^{\prime\prime}(x) > 0 \Rightarrow \text{Tiefpunkt} \)
\( f^{\prime\prime}(x) = 0 \Rightarrow \text{Vorzeichenwechselkriterium (Monotoniebetrachtung)} \)

Wendestellen

notwendige Bedingung: \( f^{\prime\prime}(x) = 0\)
hinreichende Bedingung: \( f^{\prime\prime}(x) = 0 \wedge f^{\prime\prime\prime}(x) \neq 0\)

 Ortskurve

Vorgehensweise: Bestimmung des Parameterwertes; Einsetzen des Parameters in y; Vereinfachen