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Symmetrie

Man unterscheidet zwei Arten von Symmetrien: einmal die Achsensymmetrie und einmal die Punktsymmetrie.

Achsensymmetrie zur y-Achse

Wenn ein Graph einer Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, dann sind die y-Werte/Funktionswerte zu zwei x-Werten, die sich nur durch das Vorzeichen unterschieden (z.B. 5 und -5), gleich. Ein Beispiel für eine zur y-Achse achsensymmetrische Funktion ist die Normalparabel \( f(x) = x^2 \).

Bedingung: Für eine Achsensymmetrie zur y-Achse gilt folgende Bedingung: \( f(x) = f(-x) \)

Vorgehensweise: Man setzt für jedes x (bzw. für jede Variable) ein -x ein (den negativen Wert der Variable). Dabei müssen die Klammersetzung und die Potenzen beachtet werden!

Beispiel: $$ f(x) = x^2 $$ $$ f(-x) = (-x)^2 \quad | -x  einsetzen $$ $$ f(-x) = x^2 \quad |  da -x \cdot -x = x^2  $$ $$  f(x) = f(-x) \quad x^2 = x^2 $$ $$ \text{Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse!} $$

Merke: Hat eine ganzrationale Funktion ausschließlich gerade Potenzen, dann ist die Funktion immer achsensymmetrisch zur y-Achse.

Punktsymmetrie zum Ursprung

Wenn ein Graph einer Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, dann sind die y-Werte/Funktionswerte zu zwei x-Werten, die sich nur durch das Vorzeichen unterschieden (z.B. 5 und -5), nur durch Vorzeichen unterschiedlich. Ein Beispiel für eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion ist  \( f(x) = x^3 \).

Bedingung: Für eine Punktsymmetrie zum Ursprung gilt folgende Bedingung: \( f(x) = – f(-x) \)

Vorgehensweise: Man verwendet den ermittelten Term aus der Untersuchung auf die Achsensymmetrie zur y-Achse und kehrt alle Umzeichen um, in dem man den Term in Klammern setzt und dann ein Minus davorsetzt (man negiert den Term).

Beispiel: $$ f(x) = x^3 $$ $$ f(-x) = (-x)^3 \quad | -x  einsetzen $$ $$ f(-x) = – x^3 \quad |  da -x \cdot -x = x^2; x^2 \cdot -x = – x^3  $$ $$  f(x) \not= f(-x) \quad x^3 \not= -x^3 $$ $$ \text{Der Graph ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse!} $$ $$ f(x) = – (-x^3) \quad |  \text{Alle Vorzeichen umkehren.} $$ $$ f(x) = x^3  \quad f(x) = – f(-x) $$ $$ \text{Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung!} $$

Merke: Hat eine ganzrationale Funktion ausschließlich ungerade Potenzen, dann ist die Funktion immer punktsymmetrisch zum Ursprung.