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Globalverhalten

Das Globalverhalten, oder auch Verhalten im Unendlichen, zeigt an, wie sich der Graph einer Funktion im Unendlichen verhält, ob er gegen plus/minus unendlich oder einer eine andere Zahl (z.B. 0, \( \pi \), 5, …) strebt.

Ziel: ist die Bestimmung des Funktionswertes, wenn \( x \rightarrow \infty \) oder \( x \rightarrow  -\infty \), also der Variablen gehen plus/minus unendlich geht.

Vorgehensweise: Dazu bestimmt man den Grenzwert (Limes) der Funktion. Bei einer ganzrationalen Funktion klammert man die höchste Potenz aus und bestimmt dann den Grenzwert.

Beispiel: $$ \begin{aligned} & \lim_{x \rightarrow \infty} x^4 + 2x^3 + 4  \mid \text{Ausklammern der höchsten Potenz} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} x^4  \cdot  \left( 1 + \frac{2x^3}{x^4} + \frac{4}{x^4} \right) \mid \text{Anwenden der Potenzgesetze} \\  &= \lim_{x \rightarrow \infty} x^4  \cdot  \left( 1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^4} \right) \\ & \text{Nun schauen wir, was mit jedem einzelnen Term passiert, wenn x immer größer bis unendlich wird.} \\ & \qquad x^4 \text{ wird immer größer und wächst gegen unendlich; } \\ & \qquad \text{Vorzeichen beachten! Bei } \lim_{x \rightarrow – \infty } x^3 \text{ geht } x^3 \text{ gegen } – \infty \mid \text{sozusagen } \left( – \infty \right)^3 = – \infty \cdot  – \infty \cdot – \infty = – \infty \\ & \qquad 1 \text{ bleibt bei 1;} \\ & \qquad \frac{2}{x} \& \frac{4}{x^4}\text{ gehen gegen Null, weil 2 durch eine immer größere werdende Zahl immer kleiner (bis Null) wird;} \\ &=\lim_{x \rightarrow \infty} x^4  \cdot  \left( 1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^4} \right) \rightarrow \infty\end{aligned}$$