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Flächeninhalt zwischen Graph und Achsen

Berechnung des Flächeninhaltes zwischen Graph und Achsen im geschlossenen Intervall

Ziel ist die Bestimmung des Flächeninhaltes zwischen Graph und Achsen im Intervall [a, b].

  1. Man bestimmt die Nullstellen von f auf  [a, b].
  2. Man untersucht, welches Vorzeichen f(x) in den Teilflächen hat (→ orientierte Flächeninhalte).
  3. Man bestimmt die Flächeninhalte der Teilflächen und addiert.

z.B. \(  A = \left| \int\limits_{a}^{b} f(x) dx \right| + \left| \int\limits_{b}^{c} f(x) dx \right| \)

Berechnung des Flächeninhaltes zwischen Graph und Achsen im halboffenen Intervall

Beispiel: $$   f(x) = \frac{2}{x^2} \\ \int\limits_{2}^{b} \frac{2}{x^2} dx  = \left[ – \frac{2}{x} \right]_{2}^{b} = – \frac{2}{b} + 1 = 1 – \frac{2}{b} \\ \lim_{b \rightarrow \infty} \int\limits_{2}^{b} f(x) dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \left( 1 – \frac{2}{b} \right) \rightarrow 1 $$

Wenn zur Bestimmung eines Integrales es notwendig ist, einen Grenzwert zu verwenden, so spricht man von einem “uneigentlichen Integral”.