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Berechnung von Integralen

Definition Integralfunktion: Eine Funktion \( f(x) \) sei in einem Intervall \( I \)  stetig und und \( a,b\in I \). Dann heißt die Funktion \( I_a(b) \) mit \(  I_a(b) = \int_{a}^{b} f(x) dx  \) Integralfunktion von f zur unteren Grenz a und zur oberen Grenze b.

Definition Stammfunktion: Eine Funktion f sei auf einem Intervall I stetig. Dann heißt die Funktion F Stammfunktion von f im Intervall I wenn für alle \( x \in I \) gilt: \( F'(x) = f(x) \)
\( F(x) = \int f(x) dx\)
Achtung: F hat eine Integrationskonstante z.B. c, die beim differenzieren wegfällt. Wenn eine Stammfunktion gesucht ist, hat c konventionell den Wert 0.

Rechenregeln für die Bestimmung der Integralfunktion
Es gelten die Ableitungsregeln nur rückwärts! Hier ist C die Integrationskonstante.

\( \begin{aligned} f(x) = x^n & \qquad F(x) = \frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1} + C \\
f(x) = n(x) + m(x) & \qquad F(x) = N(x) + M(x) + C \\
f(x) = c \cdot u(x) & \qquad F(x) = c \cdot U(x) + C \end{aligned}\)

Lineartität des Integrals:
\( r \cdot \int f(x) dx = \int r \cdot f(x) dx \\ \int f(x) + g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \)

Berechnung von Integralen
Eine Funktion f sei auf einem Intervall I [a, b] stetig und F eine beliebige Stammfunktion von f in dem Intervall I. Dann gilt: $$ \int\limits_{a}^{b} f(x) dx = \left[ F(x) \right]_{a}^{b} = F(b) – F(a) $$