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Anwendung von Integralen

Ist m die momentane Änderungsrate einer Größe, dann ist \( \int_{t_1}^{t_2} m(t) dt \) die Gesamtänderung der Größe im Zeitintervall \( [ t_1, t_2] \). Diese Gesamtänderung entpricht dem orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion m über dem Intervall \( [ t_1, t_2] \). Ein positiver bzw. negativer Wert für das Integral bedeutet eine Zu- bzw. Abnahme der Größe.

Beispiel: Unsere Funktion s beschreibt den zurückgelegten Weg. Die momentane Änderungsrate ist die Ableitung der Funktion s: \( s'(t) = v(t) \). Die Gesamtänderung im Intervall \( [ t_1, t_2] \), also die zurückgelegte  Strecke, beträgt dann \( s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \).

Satz: Ist m(t) mit \( t \in [t_1; t_2]\) die momentane Änderungsrate einer Größe G, dann erhält man die Gesamtänderung \( \Delta G = G(t_2) – G(t_1) \) im Intervall \( [ t_1, t_2] \) als Integral $$ \Delta G = G(t_2) – G(t_1) = \int\limits_{t_1}^{t_2} m(t) dt $$