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Quadratische Funktionen

Definition: Eine Funktion mit der Funktionsgleichung \( f(x) = a \cdot x^2  + b \cdot x + c\) mit \( a \neq 0 \) nennt man quadratische Funktion. \(ax^2\) heißt quadratisches Glied, \(c\) absolutes Glied. Der Punkt mit dem kleinsten oder größten Funktionswert nennt man Scheitelpunkt. Den Graphen der quadratischen Funktion \( f(x) = x^2 \) heißt Normalparabel, der Scheitelpunkt der Normalparabel ist S(0|0) (Koordinationursprung).

a: Streckung der ersten Teilfunktion entlang der y-Achse
b: Streckung der zweiten Teilfunktion entlang der y-Achse
c:Verschiebung/Offset entlangder y-Achse

Strecken und Verschieben der Normalparabel, Scheitelpunktsform

$$ f(x) = a \cdot ( x – d )^2 + e $$

  • Scheitelpunkt: S ( d | e )
  • Verschiebung entlang der y-Achse
  • Verschiebung entlang der x-Achse, Parabelachse
  • Strecken/Stauen der Normalparabel entlang der y-Achse

Nullstellenbestimmung

Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, sind zwei, eine oder keine Nullstelle(n) möglich.
Diese lassen/lässt sich einerseits mit der pq-Formel, andererseits mit der sogenannten Mitternachtsformel bestimmen.

Nullstellenbestimmung mit Mitternachtsformel

\(x_0  = – \frac{ -b   ^+_- \sqrt{b^2 – 4 \cdot a \cdot c} } {2 \cdot a}\)
\(\rightarrow x_1  = – \frac{ -b   + \sqrt{b^2 – 4 \cdot a \cdot c} } {2 \cdot a}\)
\(\rightarrow x_2  = – \frac{ -b   – \sqrt{b^2 – 4 \cdot a \cdot c} } {2 \cdot a}\)

Nullstellenbestimmung mit pq-Formel

Voraussetzung: Die Funktionsvariable des absoluten Gliedes darf keinen Parameter mehr haben!

\(0 = a \cdot x^2  + b \cdot x + c \rightarrow  0 = x^2  + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} \)

\( 0 = x^2 + p \cdot x + q \)

Womit gilt:

\(x_0  = – \frac{p}{2}   ^+_- \sqrt{\frac{p^2}{4} – q} \)
\(\rightarrow x_1  = – \frac{p}{2}   + \sqrt{\frac{p^2}{4} – q} \)
\(\rightarrow x_2  = – \frac{p}{2}   – \sqrt{\frac{p^2}{4} – q} \)