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Polynomdivision

Satz von VIETA

\( x_1 \) und \( x_2 \) sind genau dann Lösungen der Gleichung \( x^2 + px + q = 0 \) wenn \( x_1 + x_2 = – p \) und \( x_1 \cdot x_2 = q \).

Linearfaktorzerlegung

Ausgehend vom Satz von VIETA kann man zeigen, dass man den quadratischen Term als Produkt von linearen Termen darstellen kann (Linearfaktoren). Dies gilt auch für Polynome höheren Grades.

$$ \begin{align} x^2 + px +q &= x^2 – (x_1 + x_2) \cdot x + x_1 \cdot x_2 \\
&= x^2 – x_1x – x_2x + x_1x_2 \\
&= x (x – x_1) – x_2 (x-x_1) \\
&= (x-x_1) \cdot ( x-x_2)\end{align}$$

Polynomdivision zur Nullstellenberechnung

Ein Produkt ist Null, wenn mind. einer der Faktoren Null ist. Um die Nullstellen von ganzrationalenen Funktionen höheren Grades zu ermitteln, verwenden wir die Polynomdivision. Dazu erraten wir eine Nullstelle und dividieren durch diese, um auf weitere Nullstellen schließen zu können.

Bsp: $$ (x^3 – 0,5x^2 – 11x – 12 ) : ( x + 2) = x^2 – 2,5x – 6 $$
Die Nullstelle bei \( x_0 = -2 \) haben wir erraten (z.B. grafisch ermittelt) und nutzen diese, um das Polynom dritten Grades in einen zweiten Grades zu überführen (und dann die pq-Formel anwenden zu können).

Ausschlaggebend bei der Polynomdivision sind die Exponenten, achten muss man noch auf die Koeffizienten mit Vorzeichen, ansonsten erfolgt das Verfahren analog zur schriftlichen Division mit rationalen Zahlen.