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Lineare Funktionen

Eine Funktion, deren Zuordnungsvorschrift in der Form \( x \mapsto mx + b \) geschrieben werden kann, heißt lineare Funktion. \( y = mx + b \) ist die zugehörige Funktionsgleichung. Der Graph einer linearen Funktion f mit \( f(x) = mx +b \) ist eine Gerade.

m: Streckung entlang der y-Achse, Steigung
b: Verschiebung/Offset entlang der y-Achse/Achsenabschnitt

Die Steigung stimmt mit der Änderungsrate \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \) überein.
$$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 – y_2}{x_2 – x_1} \text{ für } x_2 \neq x_1 $$

  • Normalform: Steigung m, Achsenabschnitt b; \( y = mx + b \)
  • Zwei-Punkte-Form: $$ P_1 (x_1 | y_1), P_2(x_2|y_2) x_1 \neq x_2 \\ y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2-x_1} ( x-x_1) $$
  • Punkt-Steigungs-Form: $$ P_1(x_1|y_1); m \\ y – y_1 = m \cdot ( x – x_1) $$
  • Allgemeine Form der Geradengleichung: $$ Ax + By = C \\ \text{Darstellung einer Gerade falls nicht: } \\ A = 0 \land B = 0 \\ $$
    B = 0; Parallele zur 2. Achse durch den Punkt \( P \left( \frac{C}{A}|0\right)\)

Da es sich um eine Funktion 1. Grades handelt, sind 1 Nullstelle möglich oder keine (wenn der Graph eine Parallele zur x-Achse bildet).

Nullstelle: \( x_0 = -\frac{b}{m}\)

Koordinatengeometrie von Geraden \(g_1, g_2\)

  •  parallel: \( m_1 = m_2 \)
  • orthogonal: \( m2 = – \frac{1}{m_1} \qquad m_1 \cdot m_2 = -1 \)

Strecke \( \overline{P_1P_2} \) mit den Endpunkten \( P_1(x_1|y_1), P_2(x_2|y_2) \)

  • Mittelpunkt: \( M\left(\frac{x_1+x_2}{2} | \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
  • Länge der Strecke: nach Pythagoras \( d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 } \)