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Kubische Funktionen

\( f(x) = a \cdot x^3  + b \cdot x^2 + c \cdot x + d\)

\( x = \left| A \right| \)

a: Streckung der ersten Teilfunktion entlang der y-Achse
b: Streckung der zweiten Teilfunktion entlang der y-Achse
c: Streckung der dritten Teilfunktion entlang der y-Achse
d:Verschiebung/Offset entlangder y-Achse

Da es sich um eine Funktion dritten Grades handelt, sind maximal drei Nullstellen möglich.
Zur Nullstellenbestimmung gibt es zwei Verfahren; welches man benutzen kann, hängt von der Diskriminanten D ab.

Die Diskriminante D setzt sich aus zwei Hilfsausdrücken (p und q) zusammen.

\(p  = \frac{3b – a^2}{3}\)

\(q  = c + \frac{2a^3}{27} – \frac{ab}{3}\)

\(\rightarrow  D =( \frac{p}{3})^3 + (\frac{p}{2})^2 \)

Fallunterscheidung:
D < 0 \( \rightarrow \) drei verschiedene reelle Lösungen \( \rightarrow \) Trigonometrische Lösungsansatz
D = 0 \( \rightarrow \) drei reelle Lösungen, darunter eine Doppellösung \( \rightarrow \) Cardano´sche Formeln
D > 0 \( \rightarrow \) eine reelle (und zwei zueinander konjugiert Komplexe) Lösungen \( \rightarrow \) Cardano´sche Formeln

 

Trigonometrischer Lösungsansatz

\( \phi = arccos \left( -\frac{q}{2\sqrt{\left(\frac{\left| p \right|}{3}\right)^3}}\right)   \)

\(\rightarrow x_1  = – \frac{a} {3} + 2 \cdot \sqrt{\frac{\left| p \right|}{3}} \cdot cos \left(\frac{\phi}{3}\right)\)
\(\rightarrow x_2  = – \frac{a} {3} – 2 \cdot \sqrt{\frac{\left| p \right|}{3}} \cdot cos \left(\frac{\phi – pi}{3}\right)\)
\(\rightarrow x_3  = – \frac{a} {3} – 2 \cdot \sqrt{\frac{\left| p \right|}{3}} \cdot cos \left(\frac{\phi + \pi}{3}\right)\)

Cardano´sche Formeln

\( u = \left( -\frac{q}{2} + \sqrt{D}\right)^3   \)
\( v = \left( -\frac{q}{2} – \sqrt{D}\right)^3   \)

\(\rightarrow x_1  = – \frac{a} {3} + u +v \)