online-wissen > Mathematik > Analysis > Funktionen > Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen

Ein Term \( f(x) \) der Form $$ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + a_{n-3}x^{n-3} + a_{n-4}x^{n-4}  + … + a_{1}x^{1} + a_{0}x^{0} \\ = \sum_{n=0}^{i} a_ix^i \\ n \in \mathbb{N} \quad a_n \in \mathbb{R}, a_n \neq 0 $$ heißt Polynom in x. Die Zahl \( a_i \) nennt man die Koeffizienten des Polynoms. Der Exponent n heißt der Grad des Polynoms. 

Eine Funktion deren Funktionsterm f(x) als Polynom dargestellt werden kann, heißt ganzrationale Funktion. Der Grad des Polynoms ist dann auch der Grad der Funktion. Wenn alle Koeffizienten gleich Null sind, spricht man vom Nullpolynom, entsprechend \( f(x) = a_0 \) nullter Grad.

Eigenschaften

Symmetrie

Ist der Grad der ganzrationalen Funktion ungerade, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch (zum Ursprung bei keiner Verschiebung); ist der Grad der ganzrationalen Funktion gerade, so ist der Graph der achsensymmetrisch (zur y-Achse bei keiner Verschiebung).

Globalverhalten

Der Summand mit der höchsten Potenz entscheidet über das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktionen für \( x \rightarrow+\infty \) bzw. \( x \rightarrow – \infty \).