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Folgen

Themen:

  1. HERON-Verfahren

Definition: Eine Funktion mit der Menge \( \mathbb{N}^* \) der natürlichen Zahlen ohne 0 als Definitionsbereich heißt Folge. Die Funktionswerte bei Zahlenfolgen sind reelle Zahlen. Die einzelnen Funktionswerte heißen die Glieder der Folge. Eine Folge notiert man häufig so: \( a_1, a_2, a_3, … a_n \). Für jeden \( n \in \mathbb{N}^* \) ist \( a_n \) das der Zahl n zugeordnete Element, n heißt die Platznummer des Folgengliedes n.

Zuordnungsvorschrift: \( n \mapsto a_n \)

Um eine Folge von ihrem Glied \( a_n \) zu unterscheiden, bezeichnet man sie mit \( \langle a_n \rangle \), \( a_n \) wird auch als allgemeines Glied der Folge bezeichnet.

Vereinfacht: Eine Folge ist einer Aufeinanderfolge von (un-)endlich vielen Zahlen

Rekursive und explizite Vorgabe einer Folge:

  • explizit: beliebiges Glied n berechenbar
    Bsp: Folge der ungeraden Zahlen: 1; 3; 5; 7; 9; …
    Funktionsterm: \( a_n = 2n – 1 \quad (n \in \mathbb{N}^*) \)
  • rekursiv: beliebiges Glied n durch Anfangsglied unf Rekursionsgleichung berechenbar
    Vorgabe 1.Glied, Gleichung Glied \( a_{n+1} \) aus \( a_n \)
    \( a_1 = 1 \\ a_{n+1} = a_n +2 \)

Anwendung von Folgen: Beschreibung

  • dynamischer Prozesse
    • Wachstumsprozesse
    • periodische Prozesse
    • chaotische Prozesse
  • als spezielle Funktionen
    • Darstellung funktionaler Zusammenhänge
    • Bestimmung von Näherungswerten (Newton-Verfahren zur Integralberechnung)

Der Graph einer Folge setzt sich aus einzelnen Punkten zusammen.