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Definition von Funktionen

Themen:

  1. Monotonie

Der Begriff der Funktion wird in der Mathematik, insbesondere in der Schulmathematik, häufig verwendet. Umso wichtiger ist es, dass klar ist, was eine Funktion überhaupt ist.

Definition: Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift, der jedem Element der Definitionsmenge (= Variable) genau ein Element der Wertemenge (=Funktionswert) zuordnet. (Oder einfacher: Wir ordnen jedem x-Wert (= Variable) genau einen y-Wert (= Funktionswert). Die Definitionsmenge ist die Menge aller Zahlen, die die Variable annehmen kann (alle möglichen x-Werte), die Wertemenge ist die Menge aller Zahlen, die der Funktionswert annehmen kann (alle möglichen y-Werte). Wichtig ist, dass ein Element der Definitionsmenge nur einem Element der Wertemenge zugeordnet werden kann! Allerdings können einem Element der Wertemenge mehrere Elemente der Definitionsmenge zugeordnet werden (ein y-Wert kann mehrere x-Werte haben, ein x-Wert kann aber nur einen y-Wert haben). Die Umkehrzuordnung ist \( y \mapsto x \) ist nicht zwingend eindeutig!

Definition: Eine Zuordnung, die jeder Zahl x aus einer Menge D genau eine Zahl y aus einer Menge W zuordnet, heißt Funktion. Die einer Zahl x aus D eindeutig zugeordnete Zahl y heißt Funktionswert von x (an der Stelle x, zu dem Argument x). Die Menge D nennt man Definitionsbereich (Menge aller möglichen x-Werte), die Menge W nennt man Wertebereich (Menge aller möglichen y-Werte).

Es gibt verschiedene symbolische Darstellungsformen für Funktionen:

  • Funktionsgleichung: \( y = f(x) = -0,5 \cdot x^2 \)
  • Funktionsterm: \( -0,5 \cdot x^2 \)
  • Zuordnungsvorschrift: \( x \mapsto f(x) \), \( x \mapsto -0,5 (x-2)^2 \)

Man kann Funktionen aus tabellarisch darstellen mit den Spalten:

Außerdem gibt es mehrere grafische Darstellungsformen: Graph, Pfeilbild
Zuordnung: Pfeilbild

 

Einige Funktionen

  • SIGNUM-Funktion, “Vorzeichen-Funktionen”: $$ sgn(x) =\left\{ \begin{matrix} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x < 0 \end{matrix} \right. $$
  • Betragsfunktion: $$ | x | = \left\{ \begin{matrix} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{matrix} \right. $$
  • Ganzteilfunktion: $$ INT(x) = \left\{ \begin{matrix} x & \text{falls } x \in \mathbb{Z} \\ & \text{sonst nächstkleinere Zahl zu }  x \end{matrix} \right. $$