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Geometrische Definition der Ableitung

Angenommen wir haben eine Funktion \( f(x) \). Diese Funktion beschreibt die Höhe über NN in m (=f oder im Koordinatensystem y) in Abhängigkeit von der Entfernung vom Ursprungspunkt in m (=x) von beispielsweise eines Berges. Eine solche Funktion könnte wie folgt aussehen:

Das Ziel ist die Bestimmung der Steigung in einem beliebigen Punkt. Bei einer linearen Funktion könnte man wie folgt vorgehen:

Um beim Bergbeispiel zu bleiben, gehen wir jetzt davon aus, dass das Bergprofil auf einen Teil der Strecke durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. Für die Bestimmung der Steigung brauchen wir dann zwei Werte:

  1. den Höhenunterschied (\(\Delta y = y_2 – y_1\))
  2. die zurückgelegte Strecke (\( \Delta x = x_2 – x_1\))

Die Steigung ist dann: $$ \text{Steigung} = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{ zurückgelegte Strecke}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$$

Allgemein: Man legt an den Graphen der Funktion ein Steigungsdreieck an und liest die Differenz der Funktionswerte (\(\Delta y = y_2 – y_1\)) und die Differenz der Variablenwerte (\( \Delta x = x_2 – x_1\)) ab. Der Quotient aus den Differenzen ist die Steigung m.

Um jetzt die Steigung in einem beliebigen Punkt in unserem Bergprofil zu bestimmen, müssen wir nur eine Tangente an diesem Punkt anlegen und am Steigungsdreieck die Steigung ablesen. Die Bestimmung der Tangente ist mathematisch gesehen komplizierter. Auf der nächsten Seite, der analytischen Definition der Ableitung, wird dieses Verfahren erläutert und durchgeführt, man kann diesen Schritt aber auch einfach überspringen.

Beispiel: An den Stellen a und b sollen die Steigungen ermittelt werden. Es wird jeweils eine Tangente an den Graphen der Funktion an den Stellen a und b angelegt (rot eingezeichnet). Aus dem Steigungsdreieck (grün eingezeichnet) wird dann die Steigung abgelesen.

Definition: Die Steigung des Graphen einer Funktion an einer beliebigen Stelle (x = a, x = 5, …) ist gleich der Steigung der Tangente (-> Steigungsdreieck) an den Graphen in diesem Punkt.
Unter der Ableitung einer Funktion an einer beliebigen Stelle versteht man die Steigung der Tangente an den Graphen an dieser beliebigen Stelle.
(Was für zwei Sätze, meint aber nur das, was oben beschreiben worden ist ;)).